8 Dicembre 2021
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Come si verifica una funzione inversa?

In precedenza avete imparato a trovare l’inverso di una funzione. Questa volta vi verranno date due funzioni e vi verrà chiesto di dimostrare o verificare se sono l’una l’inversa dell’altra. Ma come?

La procedura è molto semplice. Ma prima di farlo, voglio che tu abbia una comprensione di base di come funziona il processo di “verifica”. Diamo un’occhiata al diagramma qui sotto.

Supponiamo che vi siano date due funzioni, cioè fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) .

Pensate a questo, se inserisco x=2 in fleft( x right), ottengo un output di color5 . Ora, inserisco x=5 in gleft( x right) . Qual è il valore di uscita?

Bene, ho ottenuto la risposta colore2 che è il valore originale di input per fleft( x right) della funzione con cui ho iniziato. Questa è una buona osservazione. Posso dire che chi la fa l’aspetti? Questa è precisamente l’idea principale di ciò che faremo quando ci viene chiesto di verificare o dimostrare se due funzioni sono inverse l’una dell’altra.

Passi su come verificare se due funzioni sono l’una l’inversa dell’altra

Verificare se due funzioni sono l’una l’inversa dell’altra è un semplice processo in due fasi.

PASSO 1:

  • Inserire gsinistra( x destra) in fsinistra( x destra), poi semplificare.

f[g(x)]=x

  • Se è vero, passa al passo 2.
  • Se falso, STOP! Questo significa che fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) non sono inversi.

PASSO 2:

  • Inserire fsinistra( x destra) in gsinistra( x destra), poi semplificare.

g[f(x)]=x

  • Se è di nuovo vero, allora fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) sono inversi. Successo!
  • Se è falso, allora fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) non sono inversi.

Tecnicamente, perché fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) siano l’una l’inversa dell’altra, devi dimostrare che la composizione delle funzioni funziona in entrambi i modi! Pertanto, la composizione della funzione coloref con coloreg è uguale a x , e viceversa. È “elegantemente” riassunto nell’equazione che segue.

CONCLUSIONE:

f[g(x)] = g[f(x)] =x

Esempi di come verificare se due funzioni sono l’una l’inversa dell’altra

Esempio 1: Verificare o dimostrare che le funzioni sono l’una l’inversa dell’altra.

  • Per Passo 1prenderò gsinistra( x destra) come input di fsinistra( x destra). Ciò significa che sostituirò qualsiasi equazione di gleft( x right) ad ogni x in fleft( x right), poi semplificherò.
  • Per Passo 2inverto semplicemente il processo, cioè faccio fleft( x right) come input di gleft( x right) .

Poiché i risultati precedenti sono venuti molto bene, sia x , allora posso affermare che le funzioni fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) sono effettivamente inverse l’una dell’altra.

Esempio 2: Verificare o dimostrare che le funzioni sono l’una l’inversa dell’altra.

Ho due funzioni razionali, e quindi mi aspetto che il processo di composizione sia un po’ noioso in entrambi i casi. Finché sto facendo attenzione e facendo effettivamente piccoli progressi in ogni passo della mia soluzione, allora dovrebbe incoraggiarmi a farlo finalmente bene!

Comincio a comporre gsinistra( x destra) con fsinistra( x destra) .

La risposta semplificata è 2x che ha mancato il nostro obiettivo di solo largecolorx . Mi fermerei subito qui e concluderei che fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) non sono inversi tra loro.

Esempio 3: Verificare o dimostrare che le funzioni sono l’una l’inversa dell’altra.

  • Mostrare che fsinistra[ destra] = x
  • Dimostrare che gsinistra[ destra] = x .

Poiché entrambe le uscite sono largecolorx allora fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) sono inversi l’uno dell’altro!

Esempio 4: Verificare o dimostrare che le funzioni sono l’una l’inversa dell’altra.

Sostituirò la formula di gsinistra( x destra) in fsinistra( x destra), poi semplificherò.

Ricordate che dobbiamo arrivare a largecolorx , cioè x con un coefficiente di +1 , e non di -1 . Quello che abbiamo invece è un coefficiente di -1, che NON è quello che vogliamo. Pertanto, questa leggera o piccola differenza dovrebbe farci concludere che fsinistra( x destra) e gsinistra( x destra) non sono inversi l’uno dell’altro, il che significa che non c’è bisogno di fare il passo 2.

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