Se fissiamo un angolo acuto (theta), allora tutti i triangoli rettangoli che hanno (theta) come uno dei loro angoli sono simili. Quindi, in tutti questi triangoli, le coppie di lati corrispondenti hanno lo stesso rapporto.
Il lato opposto all’angolo retto è chiamato ipotenusa. Etichettiamo il lato opposto a (theta) come opposto e il lato rimanente come il adiacente. Usando questi nomi possiamo elencare i seguenti rapporti standard:
A questi si aggiungono i tre rapporti reciproci, cosecante, secante e cotangente:
Questi sono chiamati i rapporti reciproci come
I rapporti trigonometrici possono essere usati per trovare lunghezze e angoli nei triangoli rettangoli.
Esempio
Trova il valore di (x) nel seguente triangolo.
Soluzione
Angoli speciali
I rapporti trigonometrici degli angoli (30^circuito), (45^circuito) e (60^circuito) possono essere facilmente espressi come frazioni o quote, e gli studenti dovrebbero impararli a memoria.
| ª(ªilta ª) | sinistra del teta | così come la teta | tano-il-teta |
|---|---|---|---|
| 30^Circ. | ddfrac<1><2>) | dfrac |
ddfrac<1> |
| 45^circ. | ddfrac<1> |
ddfrac<1> |
1 |
| 60^circ. | ddfrac< |
ddfrac<1><2>) | sqrt 3) |
Triangoli per i rapporti trigonometrici di angoli speciali.
Descrizione dettagliata del diagramma
Estensione degli angoli
Nel modulo Ulteriore trigonometria (anno 10), abbiamo mostrato come ridefinire le funzioni trigonometriche in termini di coordinate di punti sul cerchio unitario. Questo permette di estendere la definizione delle funzioni trigonometriche al secondo quadrante.
Descrizione dettagliata del diagramma
Se l’angolo (theta) appartiene al primo quadrante, allora le coordinate del punto (P) sul cerchio unitario mostrato nel diagramma sono semplicemente ((cos theta, sin theta)).
Così, se (ilta) è l’angolo tra (OP) e l’asse positivo (x):
- il coseno di (theta) è definito come l’ascissa del punto (P) sul cerchio unitario
- il seno di (theta) è definito come l'(y)-coordinata del punto (P) sul cerchio unitario.
Possiamo applicare questa definizione a qualsiasi angolo.
Il tangente è quindi definito da
[ tantheta = dfrac
Come esempio, prendiamo che (theta) sia (30^circ), quindi (P) ha coordinate (cos 30^circ, sin 30^circ)). Ora spostiamo il punto (P’) intorno alla circonferenza in (P’), in modo che (OP’) faccia un angolo di (150^circa) con l’asse positivo (x’). Si noti che (30^circ.) e (150^circ.) sono angoli supplementari. Le coordinate di (P’) sono (cos 150^circ, sin 150^circ)).
Descrizione dettagliata del diagramma
Ma possiamo vedere che i triangoli (OPQ) e (OP’Q’) sono congruenti, quindi le (y)-coordinate di (P) e (P’) sono uguali. Quindi, (sin 150^circ = sin 30^circ). Inoltre, le (x)-coordinate di (P) e (P’) hanno la stessa grandezza ma segno opposto, quindi (cos 150^circ = -cos 30^circ).
Da questo tipico esempio, vediamo che se (theta) è un qualsiasi angolo ottuso, allora il suo complemento (<180^circ - theta> è acuto, e il seno di (theta) è dato da
sin theta = sin (180^circola – theta), qquadro testo Allo stesso modo, se (theta) è un qualsiasi angolo ottuso, allora il coseno di (theta) è dato da cos theta = -cos (180^circa – theta), qquadro testo In parole povere questo dice: Sul cerchio unitario, posiziona il punto (P) corrispondente a ciascuno degli angoli (0^circuito), (90^circuito), (180^circuito), (270^circuito) e (360^circuito). Considerando le coordinate di ciascuno di questi punti, completa la seguente tabella dei rapporti trigonometrici. La cosecante è uno dei sei rapporti trigonometrici che viene anche indicato come cosec o csc. La formula del cosecante è data dalla lunghezza dell’ipotenusa divisa per la lunghezza del lato opposto in un triangolo rettangolo. Cerchiamo di capire la formula della cosecante usando l’esempio risolto. La secante di x è 1 diviso il coseno di x: sec x = 1 cos x , e la cosecante di x è definita come 1 diviso il seno di x: csc x = 1 sin x . Cot (theta) = adiacente/opposto. Cosec (theta) = Ipotenusa/Opposta. Sec (theta) = Ipotenusa/Adiacente….Trigonometria – Formule, Identità, Funzioni e Problemi.Funzioni TrigonometricheDominioRangeCosec-1 xR – (-1,1)-π/2,π/2 – 05 altre righe Risposta: Il valore minimo di sec a e cosec a è 1. Poiché il valore minimo sarà sempre sec 0° o cosec 0° che è 1. cot 2x = (1/2) [cot x – tan x] La secante ( sec ) (sec) (sec) La secante è il reciproco del coseno. È il rapporto tra l’ipotenusa e il lato adiacente a un dato angolo in un triangolo rettangolo. La secante è il reciproco del coseno. È il rapporto tra l’ipotenusa e il lato adiacente a un dato angolo in un triangolo rettangolo. cot 2x = (1/2) [cot x – tan x] Cot(3x) = (1 – 3 Tan²x)/(3Tanx – Tan³x) = (3cotx – Cot³x)/(1 – 3Cot²x) La secante è il reciproco del coseno. È il rapporto tra l’ipotenusa e il lato adiacente a un dato angolo in un triangolo rettangolo.
Definiamo secx come l’inverso moltiplicativo di cosx, in altre parole, fissato a∈R, seca è il numero tale che secacosa=1. Ora arccosx è una cosa un po’ diversa: è la funzione inversa di cosx. La funzione reciproca del coseno è secante: sec(theta)=1/cos(theta). La funzione reciproca del seno è cosecante, csc(theta)=1/sin(theta). Ci sono tre funzioni trigonometriche reciproche, per un totale di sei che comprendono coseno, seno e tangente. La funzione reciproca del coseno è secante: sec(theta)=1/cos(theta). La funzione reciproca del seno è cosecante, csc(theta)=1/sin(theta). … La cosecante theta è 1 su y e la cotangente è x su y. La secante ( sec ) (sec) (sec) La secante è il reciproco del coseno. È il rapporto tra l’ipotenusa e il lato adiacente a un dato angolo in un triangolo rettangolo. cot 2x = (1/2) [cot x – tan x]
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